计算机加法

数学中最简单的就是加法和减法。然而在计算机中，最简单的运算却是AND、OR和NOT。

AND

物理课上，我们都做过串联实验。把两个开关依次连起来之后，如果还要点亮灯泡，就必须同时闭合两个开关。

将开关闭合定义为1，开关断开定义为0；将灯泡点亮定义为1，灯泡熄灭定义为0。则串联的两个开关与灯泡的关联规则是：

( 0 and 0 ) -> 0

( 1 and 0 ) -> 0

( 0 and 1 ) -> 0

( 1 and 1 ) -> 1

这个规则与布尔代数中的AND操作规则完全一致。

( 0 AND 0 ) -> 0

( 1 AND 0 ) -> 0

( 0 AND 1 ) -> 0

( 1 AND 1 ) -> 1

于是，将串联的开关作为输入，将灯泡的亮灭作为输出，上面的电路久构成了计算机中AND操作（与门）的基本结构。当然计算机的与门没有这么简单，实际上是通过两个继电器（或缓冲器）来实现的，只是基本原理如此。与门的符号如下：

OR

提到串联自然会想到并联。把两个开关并联起来，如果还要点亮灯泡，闭合任何一个开关就可以。

同样的定义，开关断开闭合与灯泡亮灭的规则为：

( 0 or 0 ) -> 0

( 1 or 0 ) -> 1

( 0 or 1 ) -> 1

( 1 or 1 ) -> 1

这个规则与布尔代数中的OR操作规则完全一致。

( 0 OR 0 ) -> 0

( 1 OR 0 ) -> 1

( 0 OR 1 ) -> 1

( 1 OR 1 ) -> 1

于是，并联开关的电路图就构成了计算机中OR操作（或门）的基本结构。当然，计算机实际上还是通过两个继电器（或缓冲器）来实现的。或门的符号为：

NOT

除去串联和并联，还有一种电路连接方式，叫做短路。

上面的连接方式中，当开关断开，灯泡点亮；当开关闭合，灯泡熄灭。其关联规则为：

( 0 ) -> 1

( 1 ) -> 0

这正是NOT运算符的运算规则。与AND、OR都需要两个输入不同，NOT运算符的输入只有一个。

( NOT 0 ) -> 1

( NOT 1 ) -> 0

计算机中实现NOT运算符的电路叫做反转器，也就是将输入的信号取反输出。和与门、或门都需要两个继电器操作两个输入不同，反转器的实现只需要一个继电器。反转器的符号为：

NAND和NOR

前面的AND、OR和NOT三个运算符之间是可以组合的。如果反转器跟在与门的输出之后，就构成了“与非门”，其符号如下。

“与非门”的运算规则就是将与门的输出反转。

( 0 NAND 0 ) -> 1

( 1 NAND 0 ) -> 1

( 0 NAND 1 ) -> 1

( 1 NAND 1 ) -> 0

同理，如果反转器跟在或门的输出之后，就构成了“或非门”，其符号如下：

“或非门”的运算规则，就是将或门的输出反转。

( 0 NOR 0 ) -> 1

( 1 NOR 0 ) -> 0

( 0 NOR 1 ) -> 0

( 1 NOR 1 ) -> 0

“与非门”和“或非门”都是需要两个继电器。

半加器

布尔代数中的AND、OR和NOT三个运算符，以及NAND、NOR两个运算符，是计算机可以通过继电器的电路连接久可以直接实现的。那通过这五个基本运算符，可以实现数学中最普通的加法运算么？

首先，我们看一下加法的运算规则。

( 0 + 0 ) -> 0

( 1 + 0 ) -> 1

( 0 + 1 ) -> 1

( 1 + 1 ) -> 10

我们把这个规则拆分成两个部分：“进位”与“求和”。

进位
- ( 0 … 0 ) -> 0
- ( 1 … 0 ) -> 0
- ( 0 … 1 ) -> 0
- ( 1 … 1 ) -> 1

求和
- ( 0 … 0 ) -> 0
- ( 1 … 0 ) -> 1
- ( 0 … 1 ) -> 1
- ( 1 … 1 ) -> 0

仔细分析下进位的规则，会发现其与AND操作的规则完全一致。因此，通过一个实现AND操作的“与门”，就能实现加法中进位的处理。

进位
- ( 0 … 0 ) -> 0
- ( 1 … 0 ) -> 0
- ( 0 … 1 ) -> 0
- ( 1 … 1 ) -> 1

与门
- ( 0 AND 0 ) -> 0
- ( 1 AND 0 ) -> 0
- ( 0 AND 1 ) -> 0
- ( 1 AND 1 ) -> 1

再来看看求和的规则，可以看出这个规则与前面提到的几个规则都不一致。

求和
- ( 0 … 0 ) -> 0
- ( 1 … 0 ) -> 1
- ( 0 … 1 ) -> 1
- ( 1 … 1 ) -> 0

但我们可以通过前述规则的组合来实现：将一个“与非门”和一个“或门”分别作为“与门”的输入，看看运算结果：

(( 0 NAND 0 ) AND ( 0 OR 0 ))

-> ( 1 AND 0 ) -> 0

(( 1 NAND 0 ) AND ( 1 OR 0 ))

-> ( 1 AND 0 ) -> 1

(( 0 NAND 1 ) AND ( 0 OR 1 ))

-> ( 1 AND 1 ) -> 1

(( 1 NAND 1 ) AND ( 1 OR 1 ))

-> ( 0 AND 1 ) -> 0

这个运算的结果与“求和”的规则完全一致。

因此，我们可以通过“与非门”、“或门”和“与门”的组合，来实现计算机加法中求和的处理。其电路图如下：

对于这样复杂的基本操作，我们给它起了一个简单的名字：异或（XOR）。哈，好熟悉的名字！这个玄妙奇异的操作符，居然是从加法中诞生的。异或的符号如下：

现在我们吧进位和求和两部分操作合并起来，就可以得到如下进行加法运算的电路图。

这个电路被称为“半加器（Half Adder）”，因为这里只有两个加数的输入，还没有考虑到更低位进行加法时提供的进位。

全加器

要实现一个完整的支持多个输入的全加器，我们还要把低位提供的进位作为第三个输入，加入我们的计算器中，

根据加法规则，我们将之前计算后的“求和”部分加上更低位的进位，这同样会产生一个进位和一个求和的结果。

啊哈，现在有两个进位要处理了。如果同时为1，岂不是要继续进位。

Note：来分析下“两个进位都为1”的可能性。

先假设两个运算的进位均为1。

既然第二次运算的进位为1，就意味着低位进位和前一次运算结果的求和这两个数值必然都为1.

而根据假设条件，第一次运算结果的进位也为1。

那就是说，第一次运算的结果中，进位、求和都是一。

这是不符合加法规则的。所以，假设不成立。

舒了一口气，好在两个进位不可能同时为1。因此，我们最终计算出来的进位结果，应该是这两次进位的或操作（只要有一个进位为1，进位结果就是1）。再给这两个进位进行一次OR操作，加上一个“或门”吧。

这张图被称为“全加器（Full Adder）”，它在计算机中通过硬件实现了数学中最最基本的操作：加法。

总结

好了，总结一下。

一个“与门”需要两个继电器
一个“或门”需要两个继电器
一个“反转器”需要一个继电器
一个“与非门”需要两个继电器
一个“异或”需要六个继电器
一个“半加门”需要八个继电器
一个“全加门”需要十八个继电器

如果要计算八位数相加的电路，就需要一百四十四个继电器！

继电器实在是太大了。幸运的事，随着技术进步，继电器早已经不在电脑中使用了。世界上的第一台电脑ENIAC就将继电器换成了真空管，可仍然占用了170平方米的空间。现在我们身边的电脑，都是用晶体管代替了真空管，但计算原理仍然保持一致。计算八位数相加，仍然需要一百四十四个晶体管。